Makalah Matamatika Dasar

BAB I

PENDAHULUAN

A.    LATAR BELAKANG

Matematika merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan yang sangat penting dalam kehidupan sehari-hari. Manusia dalam melakukan kegiatan sehari-hari tentunya tidak lepas dari apa yang ada dalam matematika kegiatan-kegiatan seperti menghitung bilangan, menjumlahkan dan lain sebagainya merupakan bagian dari cabang ilmu matematika yang paling dasar.

            Cara dan pendekatan dalam pembelajaran matematika sangat dipengaruhi oleh pandangan guru terhadap matematika dan siswa dalam pembelajaran (Adams dan Hamm,2010). Adams dan Hamm menyebut empat macam pandangan tentang posisi dan peran matematika, yaitu:

1.      Matematika sebagai suatu cara untuk berfikir

2.      Matematika sebagai suatu pemahaman tentang pola dan hubungan (pattern and relationship)

3.      Matematika sebagai suatu alat (mathematics as a tool)

4.      Matematika sebagai bahasa atau alat untuk berkomunikasi

Selain dipengaruhi oleh pandangan guru tentang posisi dan peran matematik, arah pembelajaran matematik juga dipengaruhi oleh tujuan pendidikan matematika. Mathematical Sciences Education Board-National Research Council (1990) merumuskan empat macam tunuan pendidikan matematika ditinjau dari posisi matematika dalam lingkungan sosial. Empat tujuan pendidikan matematika tersebut adalah:

a.       Tujuan praktis (practical goal)

b.      Tujuan kemasyarakatan (civic goal)

c.       Tujuan profesional (profesional goal)

d.      Tujuan budaya (cultural goal)

B.     RUMUSAN MASALAH

a.       Apa pengertiaan dari persamaan kuadrat?

b.      Apa jenis-jenis penyelesaian pada persamaan kuadrat?

c.       Apa contoh soal dari persamaan kuadrat?

C.    TUJUAN

a.       Untuk mengetahui dari persamaan kuadrat.

b.      Untuk mengetahui jenis-jenis penyelesaian pada persamaan kuadrat.

c.       Untuk mengetahui contoh soal dari persamaan kuadrat.

BAB II

ISI

A.      PENGERTIAN PERSAMAAN KUADRAT

Persamaan kuadrat atau persamaan berpangkat dua adalah persamaan dimana variabel pada persamaan yang tertinggi berpangkat dua.

Macam persamaan kuadrat :

1.      Persamaan kuadrat sejati : adalah persamaan kuadrat, dimana pada persamaan itu terdapat suatu suku yang berderajat dua dan bilangan tertentu.

Contoh :

Jika pada soal ini dibagi dahulu oleh 2,maka di dapatkan

2.      Persamaan kuadrat tak lengkap : adalah persamaan kuadrat dimana pada persamaan ini terdapat suatu suku yang berderajat dua dan satu

Contoh :

Penyelesaian :

                        à  atau

Himpunan penyelsaian {0,5}

Sifat : pada persamaan kuadrat tak lengkap salah satu akarnya adalah nol

3.      Persamaan kuadrat lengkap : adalah persamaan kuadrat dimana pada persamaan itu terdapat suku-suku berderajat dua dan satu serta bilangan tertentu.

Contoh :

Penyelsaian :

                        à (

à  atau

à

Himpunan penyelesaian {4,-1}

Ternyata akar-akarnya x₁ atau x₂ berlainan tetapi masih ada kemungkinan akar-akarnya x₁ dan x₂ sama besar.

 Grafik dari persamaan kuadrat y=ax² + bx +c, a ≠ 0, merupakan suatu parabola. Jika a > 0, membuka ke atas. Jika a < 0, parabola membuka ke bawah.

Titik terendah parabola dan titik tertinggi parabola disebut verteks (Titik puncak)

Rumus : x =

Suatu persamaan kuadrat dalam satu variabel tak diketahui x akan berbentuk ax²+bx+c  a≠0

Persamaa kuadrat bisa diselesaikan dengan pemfaktoran.

            Setiap persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan proses berikut, dikenal sebagai melengkapkan kuadrat (completing the square):

a.       Kurangkan suku konstanta c dari kedua sisi persamaan.

b.      Bagilah kedua sisi persamaan ^dengan a, yaitu koefisien darix².

c.       Tambahkan kuadrat dari setengah koefisien dari suku x ke masing-masing sisi.

d.      Tetapkan akar kuadrat dari sisi kiri (suatu kuadrat sempurna) sama dengan ± akar kuadrat dari sisi kanan dan selesaikan untuk memperoleh x.

Setiap persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus kuadrat:

Perlu dicatat bahwa akar-akar yang diperoleh mungkin saja berupa bilangan kompleks.

a.      Menyelesaikan Persamaan Kuadrat

            terdapat berbagai cara untuk menyelesaikan permasalahan kuadrat, namun pada handout ini hanya akan dibahas cara faktorisasi, melengkapkan kuadrat dan rumus. Selanjutnya berikut ini akan menguraikan satu persatu ketiga cara tersebut:

1.      Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Faktorisasi

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan, perlu di ingat kembali prinsip perkalian 0 yakni axb=0. Brntuk perkalian axb=0 akan memiliki penyelesaian a=0 atau b=0. Sebagai contoh, bila diberikan persamaan kuadrat ax²+bx+c=0, stelah difaktorkan diperoleh a(x-x₁)( x-x₂)=0. Dengan demikian, diperoleh x-x₁=0 atau x-x₂=0. Akibatnya, x=x₁ atau x=x_2.

2.      Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Melengkapkan Kuadrat

Trinominal x²+10x+25 merupakan kuadrat dari sebuah binomial, karena x²+10x+25=(x+5)². Bila diberikan dua suku pertama dari suatu trinominal, kita dapat mencari suku ketiga sedemikian hingga membuat bentuk ini menjadi bentuk kuadrat. Proses yang demikian disebut melengkapkan kuadrat.

3.      Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dengan Rumus

Beberapa persamaan kuadrat kadang-kadang tidak dapat diselesaikan dengan faktorisasi. Oleh karena itu, berikut ini diberikan sebuah rumus untuk mencari penyelesaian sembarang persamaan kuadrat ax²+bx+c=0, yakni:

Berikut ini disajikan bukti dari rumus diatas.

Misalkan sebarang persamaan kuadrat dalam bentuk ax²+bx+c=0(a>0).

Misalkan kita akan menyelesaikan dengan melengkapkan kuadrat.

                  (kalikan dengan  )

                   (tambah   )       

Setengah dari adalah dan kuadratnya adalah kita melengkapkan kuadrat,

² ₌  +

^{2 =} 

atau

 atau

atau  -

Dengan demikian dapat ditulis secara ringkas menjadi

A.    JENIS PENYELESAIAN PADA PERSAMAAN KUADRAT

Pernyataan b²-4ac pada rumus kuadrat disebut sebagai deskriminan. Dari bilangan ini, kita dapat menentukan jenis penyelesaian suatu persamaan kuadrat.

Persamaan kuadrat ax²+bx+c=0 dengan a 0 dan semua koefisiennya bilangan real akan mempunyai:

a.       Penyelesaian bilangan real yang tunggal jika b²-4ac=0

b.      Dua penyelesaian bilangan real berbeda jika b²-4ac>0

c.       Dua penyelesaian bukan bilangan real jika b²-4ac<0

B.     SIFAT-SIFAT AKAR PERSAMAAN KUADRAT

a.      Rumus  x_{1 +} x_{2 =}

Sifat : Jumlah dari akar persamaan kuadrat sama dengan lawan dari hasil bagi koefisien yang berpangkat satu oleh koefisien bilangan yang berpangkat dua.

b.      Rumus x_{1 .} x_{2 =}

Sifat : Hasil kali akar-akar suatu persamaan kuadrat sama dengan hasil bagi dari suku tentu (suku yang tak mengandung bilangan ) oleh koefisien bilangan yang berpangkat dua.

c.       Rumus

C.    BEBERAPA CONTOH SOAL PERSAMAAN KUADRAT

Contoh :

1.      Selesaikan persamaan berikut dengan menggunakan rumus kuadrat :

a.      

b.     

Penyelesaian :

a.    

b.    

2.     Selesaikanlah

Penyelesaian :

Dari persamaan kuadrat di atas, diperoleh nilai a = 1,b = 1, dan c = 1. Dengan demikian :

                        Jadi penyelesaian persamaan kuadrat  adalah  dan

                       

3.      Tentukan jenis penyelesaian dari persamaan kuadrat .

Penyelesaian :

Dari persamaan kuadrat  didapat nilai a = 9, b = -12 dan c = 4. Dengan demikian,bila kita hitung diskriminannya,

                  = 144 - 144

                  =  0

Karena , maka persamaan kuadrat hanya pempunyai penyelesaian bilangan real tunggal.

5.Persamaankuadratdalambidangbiologi

TeoriEvolusi (2) :Hukum Hardy–Weinberg

Bilafrekuensi gen yang satudinyatakandengansimbol p danalelnyadengansimbol q, makasecaramatematishukumtersebutdapatditulissebagaiberikut:

Contohpenggunaanhukuminiadalahsebagaiberikut:

1.    Biladalamsuatupopulasimasyarakatterdapatperasakertas PTC 64% sedangkanbukanperasa PTC (tt) 36%,

a.        Berapafrekuensi gen perasa (T) dan gen bukanperasa (t) dalampopulasitersebut?

b.        Berapakahrasiogenotifnya?

c.       Berapakahrasiogenotifnya?

2.    DalammasyarakatA yang berpenduduk 10.000 orang terdapat 4 orang albino. Berapa orang pembawasifat albino padamasyarakattersebut